23 octobre 2021
Mur du son sciences corner

Avion de chasse qui franchit le mur du son.

Le mur du son

Franchir le mur du son. Ce phénomène ne nous est pas inconnu cependant pouvons nous nous l’expliquer ? Dans cet article, je te propose de te pencher sur la forme de l’équation de propagation d’une onde sonore.

Une matinée du mois de Septembre, alors que je discute avec un collègue, j’entends une impressionnante déflagration qui fait trembler les fenêtres du bureau. Grand moment de questionnement, mais qu’est-ce qui a bien pu se passer ? Un peu plus tard dans la journée, j’apprends aux informations qu’il s’agit d’un avion de chasse qui a franchi le mur du son au-dessus de la région Parisienne. Je n’aurais pas imaginé que passer le mur du son pouvait être aussi spectaculaire. Ceci m’a alors amené à m’interroger sur ce qu’est le mur du son. Je te propose dans cet article de décrire le phénomène en jeu et de le mettre en équation. C’est parti pour découvrir un autre mystère de la nature !

Définition du mur du son

On dit qu’un avion franchît le mur du son lorsque sa vitesse est supérieure à la vitesse du son. Par exemple dans l’air, la vitesse du son est d’environ 340 m/s. Ainsi, lorsque l’avion dépasse cette vitesse, un observateur au sol entend une onde de choc sous la forme d’un « bang ». Tâchons de comprendre ensemble ce qui provoque ce fameux « bang ».

Explication du « bang » supersonique

Considérons toujours l’exemple de l’avion de chasse. Lorsque l’avion vole, il émet un son qui se propage dans l’air sous forme d’ondes accoustiques dans toutes les directions. Il s’agit par exemple du son émit par les moteurs de l’avion.

Schéma représentant la propagation des ondes sonore. Vu sur sciencescorner.fr

Au passage d’une onde sonore émise par l’avion, l’air se comprime. Une fois l’onde passée, l’air comprimée se détend et retourne à un état d’équilibre. Cependant, lorsque l’avion vole à la vitesse du son, une accumulation d’onde se fait à l’amont de l’avion. Ceci crée alors une surpression acoustique au nez de l’aéronef.

Schéma d'un avion de chasse à limite du mur du son. Vu sur sciencescorner.fr

Au delà de la vitesse du son, c’est cette surpression acoustique perçue par un observateur au sol qui est la cause du « bang » que l’on entend. Par ailleurs, le « bang » est entendu quand l’observateur (par exemple toi), se trouve à l’intérieur de ce que l’on appelle le cône de Mach. Le cône de Mach correspond à l’enveloppe des ondes sonores émises par l’avion lorsque celui-ci est en vol supersonique.

Côn de mach. Vu sur sciencescorner.fr

Tu l’auras bien compris, tout se joue sur la surpression de l’air au passage d’une onde sonore. Maintenant que l’on a cela à l’esprit, mettons le en équation !

Surpression acoustique

Une onde acoustique est une onde mécanique dont les vibrations sont longitudinales. Cela signifie que la vibration se fait parallèlement au sens de propagation de l’onde. Comme je te disais plus haut, en se déplaçant, l’onde comprime l’air dans lequel elle se propage. Le phénomène étant très rapide, cette transformation est considérée comme adiabatique, quasi-statique et donc la loi de LAPLACE s’applique. La loi de LAPLACE est une relation entre la pression et le volume d’un gaz parfait. Elle s’écrit de la manière suivante :

    \[ P \cdot V^{\gamma} = Constante \]

Avec \gamma l’indice adiabatique du gaz parfait

Dans notre cas, on s’intéresse à la variation de pression de l’air provoquée par l’onde sonore. On différencie la relation de Laplace ci-dessus et on obtient :

    \[ \frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0 \]

Notons p la surpression du volume d’air au passage de l’onde tel que p = dP. Ainsi la surpression acoustique peut s’écrire :

    \[ p = - \enspace \gamma P \frac{dV}{V} \]

Essayons d’aller un peu plus loin maintenant. Comme dans l’article sur la force centrifuge, appliquons ici la loi de Newton a un élément de volume.

Équation de propagation d’une onde sonore

Expression de la surpression acoustique

Considérons un cylindre de longueur dx et de section A qui se situe à une position x dans l’espace.

Schéma d'un volume d'air. Vu sur sciencescorner.fr

Maintenant, ce cylindre subit une perturbation à cause de l’onde et ses faces frontalières se déplacent de \epsilon (x,t) en x et \epsilon (x + dx,t) à la face située en x + dx.

Le nouveau volume du cylindre d’air est alors :

    \[\begin{align*}V &= A \cdot ( \enspace  (x + dx) - x \enspace + \enspace  \epsilon (x + dx,t) - \epsilon (x,t) \enspace ) \\&= A \cdot ( \enspace dx \enspace + \enspace \epsilon (x + dx,t) - \epsilon (x,t) \enspace )\\&= A \cdot dx (1 + \frac{ \partial \epsilon (x,t)}{\partial x} )\end{algin*} \]

Tu remarques ici que le premier terme de cette équation correspond au volume initial du cylindre d’air V_0 = A \cdot dx et, le second, à la variation de volume dV subit par le cylindre. On retrouve alors notre précédente surpression acoustique p qui se réécrit :

    \[ p = - \enspace \gamma P \frac{ \partial \epsilon (x,t)}{\partial x} \]

Nous avons maintenant les outils en main pour appliquer le principe fondamentale de la dynamique à ce volume d’air. C’est notre prochaine étape !

Application de la loi de Newton

La symétrie du problème fait que les forces appliquées à la circonférence du cylindre s’annulent. Ainsi, notre bilan des forces se résume aux forces de pressions appliquées sur les faces x et dx.

  • La force en x s’écrit : F_x = A \cdot (P + p(x,t))
  • La force en x + dx s’écrit : F_{x + dx} = - A \cdot (P + p(x + dx,t))

Remarque : Le force F_{x + dx} est de signe inverse car elle s’applique dans le sens opposé à F_x dans notre convention de signe.
Notons M la masse d’air dans le cylindre. L’équation de Newton nous dit :

    \[ \begin{align*}M \cdot \frac{d^2 \epsilon (x,t)}{dt^2} &= F_x + F_{x+dx}\\&= A \cdot (P + p(x,t)) \enspace - \enspace A \cdot (P + p(x + dx,t))\\ &= - A \cdot (p(x+dx,t) - p(x,t))\\ &= - A \cdot dx \cdot\frac{ \partial p (x,t)}{\partial x}\\&=  A \cdot  dx \cdot \gamma \cdot P \cdot \frac{ \partial^2 \epsilon (x,t)}{\partial x^2}\end{algin*} \]

Enfin, la masse du volume d’air peut s’écrire M = \rho \cdot A \cdot dx, avec \rho la masse volumique de l’air. L’expression devient alors :

    \[ \frac{d^2 \epsilon (x,t)}{dt^2} = \frac{ \gamma \cdot P}{\rho} \cdot \frac{ \partial^2 \epsilon (x,t)}{\partial x^2} \]

Ou plus communément :

    \[ \boxed{\frac{d^2 \epsilon (x,t)}{dt^2} = c^2 \cdot \frac{ \partial^2 \epsilon (x,t)}{\partial x^2}} \]

Nous y sommes ! Nous avons défini ensemble l’équation de propagation de l’onde sonore. Pour la culture, il s’agit là d’une équation de d’Alembert. Cette équation traduit la relation entre l’espace (les variables suivant x), et le temps. Il est commun en physique de rencontrer ce type de relations qui ne sont pas forcément aisées à résoudre.

Pour finir, allons encore plus vite et encore plus loin…?

Encore un nouveau phénomène à ajouter à ta besace de scientifique. Tu sais maintenant ce que représente le mur du son et, comment le mettre en équation. En effet, il existe des objets qui se déplacent plus rapidement que le son dans l’air. Mais, sais-tu qu’il n’y a pas que le mur du son qui peut être franchi… ? Et oui ! il existe des particules qui peuvent franchir le « mur de la lumière » ! Ce phénomène peut-être observé dans des réacteurs nucléaires. On appelle ce phénomène l’effet Vavilov-Tcherenkov. Cependant, ne dévoilons pas tout ici. Ce phénomène fera l’objet d’un prochain article sur Sciences Corner. D’ici là, bonne aventure dans ta quête de connaissance et à bientôt toujours au même endroit !


Pour aller plus loin sur les équations d’onde, tu peux t’orienter vers cet ouvrage :

2 thoughts on “Le mur du son

    1. Bonjour Burie,

      Merci pour ton intérêt pour Sciences Corner.
      Afin d’améliorer l’expérience de lecture, peux-tu préciser ton commentaire.

      N’hésite pas à me faire tes retours directement dans le formulaire de contact.
      À bientôt ! 🙂

      Harry de Sciences Corner

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