23 octobre 2021
Suite de Fibonacci dans le nautile

La forme en spirale du nautile et la suite de fibonacci

La suite de Fibonacci

La suite de Fibonacci et ses propriétés presque cachées. Quel est le lien entre elle et ce petit animal ? Partons sans plus tarder à la découverte de cette suite si populaire.

Tu as sûrement dû entendre parler de cette fameuse suite, la suite de Fibonacci. Je trouve toujours très classe de nommer cette suite, mais au fond, que vaut-elle vraiment et, pourquoi s’y intéresser. Dans cet article, je t’invite à faire tes premiers pas dans l’univers des suites mathématiques et à découvrir cette suite si populaire.

Où rencontrer cette suite ?

Mon choix s’est porté sur un exemple qui revient souvent dans les recherches internet, le nautile. Le nautile est un mollusque céphalopode possédant une coquille protectrice composée de plusieurs loges. Il est intéressant de regarder la forme en spirale de cette coquille. Et bien, il existe un lien entre la spirale du nautile et la suite de Fibonacci que je vais tâcher de t’expliquer dans cet article.

Je te propose de commencer tout d’abord par un rappel de ce qu’est une suite. Ensuite, nous sauterons à pieds joints au coeur de la résolution de la suite de Fibonacci et, comment reporter ce résultat sur le nautile.

Qu’est-ce qu’une suite ?

Une suite est le regroupement d’un ensemble de termes. Par exemple, (1,2,3,...) est une suite de nombre réels. En mathématiques, on parle souvent de suite numérique, lorsqu’il y a une relation entre un terme et les termes qui le précède, on parle alors de suite récurrente. D’un autre côté, il est aussi possible d’établir une relation direct entre le terme de la suite, et sa position.

Tâchons ici d’être un peu plus concret. L’expression d’une suite récurrente est telle que, pour tout entier naturel n, la suite (U_n)_{n \in \mathbb{N}} est définie par U_n = f ( U_{n-1}, U_{n-2}, U_{n-3}, ...). Avec des mots cela signifie que, le terme U_n est obtenu en fonction des termes précédents ( U_{n-1}, U_{n-2}, U_{n-3}, ...) .

Découverte de la suite de Fibonacci

Quelle est son expression ?

La suite de Fibonacci vérifie la relation suivante :

    \[\forall n \enspace \{ n\in \mathbb{N} \mid n \geq 2 \} \qquad F_n \enspace=\enspace F_{n-1}\enspace +\enspace F_{n-2} \qquad \text{avec} \quad F_0 = 0 \quad \text{et} \quad F_1 = 1 \]


Avec des mots cela signifie que, la valeur du terme au rang n est égale à la somme des deux termes de la suite qui le précède.

La suite de Fibonacci est une suite récurrente linéaire d’ordre 2 car, le terme au rang n dépend des deux termes précédents. La résolution de ce type de suite se fait en passant par l’équation caractéristique.

Sans trop tarder, voyons en quoi cela correspond.

Résolutions d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2

Comme je le mentionnais plus haut, la résolution d’une suite récurrente linéaire d’ordre 2 peut se faire via l’équation caractéristique. À titre d’exemple, considérons un cas générale dans l’espace des réels.

À la suite…

    \[ \forall n \enspace \{ n\in \mathbb{N} \mid n \geq 2 \} \qquad a \cdot U_n \enspace+\enspace b \cdot U_{n-1}\enspace +\enspace c \cdot U_{n-2}=\enspace 0 \qquad \text{avec} \quad (a,b,c) \enspace \in \enspace \mathbb{R}^3 , \enspace \text{et } a \neq 0 \]

… J’associe donc l’équation caractéristique :

    \[ a \cdot r^2 \enspace+\enspace b \cdot r \enspace + \enspace c  =\enspace 0 \qquad \text{avec} \quad (a,b,c) \enspace \in \enspace \mathbb{R}^3 , \enspace \text{et } a \neq 0 \]

Les racines du polynôme ci-dessus nous permettent alors d’exprimer l’ensemble des solutions de (U_n)_{n \in \mathbb{N}^+} . Les racines du polynôme sont :

    \[ r_1 \enspace = \enspace \frac{-b \enspace + \enspace \sqrt{b^2 - 4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \qquad r_2 \enspace = \enspace \frac{-b \enspace - \enspace \sqrt{b^2 -  4 \cdot a \cdot c}}{2 \cdot a} \]

Ainsi, l’ensemble des solutions réelles de (U_n)_{n \in \mathbb{N}} sont l’ensemble des fonctions vérifiant :

  • Si, (b^2 - 4 \cdot a \cdot c) > 0 :

        \[\forall n\in \mathbb{N} \qquad U_n \enspace = A \cdot r_1^n \enspace + B \cdot r_2^n \qquad \text{avec (A,B)} \in \mathbb{R} \]


  • Si, (b^2 - 4 \cdot a \cdot c) = 0 :

        \[\forall n\in \mathbb{N} \qquad U_n \enspace = (A + B \cdot n) \cdot r^n \qquad \text{avec (A,B)} \in \mathbb{R} \]


  • Si, (b^2 - 4 \cdot a \cdot c) < 0 :

        \[\forall n\in \mathbb{N} \qquad U_n \enspace = \rho^n \cdot (A \cdot cos( n \cdot \theta) \enspace + B \cdot sin( n \cdot \theta) ) \enspace \mbox{avec} \enspace (A, B, \rho, \theta) \in \mathbb{R} \]

Les solutions de la suite de Fibonacci

Maintenant, c’est le moment pour nous de sortir la tête du cahier et, de regarder d’un peu plus loin en quoi tous ces calculs peuvent s’appliquer à notre sujet.

Comme je disais, Fibonacci est une suite récurrente linéaire d’ordre 2. Par identification, on constate que dans notre cas, a=1, b = -1, et c = -1. Ainsi, l’ensemble des solutions de l’équation de Fibonacci peuvent s’écrire :

    \[\forall n\in \mathbb{N}^+ \qquad F_n \enspace = A \cdot ( \frac{1+ \sqrt{5}}{2})^n \enspace + B \cdot ( \frac{1- \sqrt{5}}{2})^n \qquad \text{avec (A,B)} \in \mathbb{R}^2 \]

Il y a beaucoup de propriétés mathématiques qui découlent de la suite de Fibonacci. Je ne pourrai malheureusement pas toutes les parcourir en long et en large. Cependant, je souhaite que l’on regarde ensemble deux points particulièrement intéressants sur ce résultat. En premier lieu, attachons nous à l’interprétation vectorielle de cette équation.

Suite de Fibonacci et les espaces vectoriels

Imagine un plan défini par deux vecteurs de base. Il est alors possible de créer n’importe quel vecteur dans ce plan par combinaison linéaire de ces deux vecteurs de base.

Représentation d'un espace vectoriel
Composition des vecteurs de base

Et bien, F_n peut être comparé au vecteur vert ci-dessus. Il s’écrit comme une combinaison linéaire des deux vecteurs de base (\frac{1+ \sqrt{5}}{2})^n et (\frac{1- \sqrt{5}}{2})^n. En somme, tous les vecteurs du plan, sont une solution de F_n. Ce qui les différencie sont les coefficients A et B qui sont eux, calculés à partir des conditions initiales.

Un trésor presque caché

Le deuxième point que je souhaite analyser avec toi est le rapport \frac{F_n+1}{F_n}, et plus précisément, sa valeur pour de très grandes valeurs de n.

Tout d’abord, faisons une petite gymnastique mathématique pour étudier la limite du rapport \frac{F_n+1}{F_n}. Pour ce faire, je factorise le terme \frac{1+ \sqrt{5}}{2} dans l’expression de F_n.

    \[ \forall n\in \mathbb{N}^+ \qquad F_n \enspace = ( \frac{1+ \sqrt{5}}{2})^n \cdot ( A  \enspace + B \cdot  (\frac{(\frac{1+ \sqrt{5}}{2}) \cdot (\frac{1- \sqrt{5}}{2})}{\frac{1+ \sqrt{5}}{2}})^n ) \qquad \text{avec (A,B)} \in \mathbb{R}^2 \]

On reconnait alors une identité remarquable qui nous permet de simplifier l’équation :

    \[ \begin{align*}(\frac{1+ \sqrt{5}}{2}) \cdot (\frac{1- \sqrt{5}}{2}) &= \frac{1}{2}^2 - \frac{\sqrt{5}}{2}^2 \\&= -1  \end{algin*}\]

Par conséquent, si je note \varphi = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}, l’expression de F_n se simplifie de la manière suivante :

    \[  \forall n\in \mathbb{N}^+ \qquad F_n \enspace = \varphi^n \cdot ( A \enspace + B \cdot (\frac{-1}{\varphi})^n ) \qquad \text{avec (A,B)} \in \mathbb{R}^2 \]

Remarquons que \varphi > 1 et donc, lorsque n tend vers l’infini, on obtient :

    \[ \lim_{ n \rightarrow +\infty} (\frac{-1}{\varphi})^n = 0 \]

Partant de ce résultat, pour de très grandes valeurs de n, le rapport \frac{F_n+1}{F_n} équivaut à \varphi, et donc :

    \[ \text{pour n très grand} \qquad \boxed{\frac{F_n+1}{F_n} = \frac{1+ \sqrt{5}}{2}}  \]

Ta pioche de chercheur vient de taper sur un nombre bien connu en mathématique. Il s’agit du nombre d’Or. Je t’invite à garder ce nombre à l’esprit. Nous découvrirons ensemble à quoi il correspond dans un prochain article.

Résumons le deuxième point. Un fait remarquable de la suite de Fibonnaci est que, le taux d’accroissement de cette suite, pour des n très grands, tend vers le précieux nombre d’Or.

La suite de Fibonacci et le nautile

Tracé de spirale à partir de la suite

Intéressons nous à quelques valeurs de la suite de Fibonacci :

F_0F_1F_2F_3F_4F_5F_6
0112358
Quelques termes de la suite de Fibonacci

Maintenant, pour chaque terme de la suite, je vais dessiner un carré dont le côté est égale à la valeur du terme. Concrètement, pour F_1, je dessine un carré de côté 1. Pour F_2, je dessine une carré de côté 1. Pour F_3, je dessine une carré de côté 2, et ainsi de suite jusqu’a F_6. Ensuite, je positionne côte à côte les carrés, de sorte que l’ensemble forme un rectangle. Le résultat est le suivant :

Suite de Fibonacci associée à des carrés
Suite de Fibonacci associée à des carrés

Pour finir, je trace un quart de cercle dans chaque carré. Chaque quart de cercle est tangent aux deux extrémités des carrés F_n et F_{n-1}, le tracé obtenu est alors continu. On peut alors apercevoir une magnifique forme de spirale !

Spirale obtenue grâce à la suite de Fibonacci
Spirale obtenue grâce à la suite de Fibonacci

Rappelle toi le deuxième point souligné précédemment. Nous avons vu que pour de grandes valeurs de n, le taux d’accroissement de la suite de Fibonacci tend vers le nombre d’Or. Ainsi, la spirale obtenue grâce à la suite de Fibonacci elle aussi tend vers la spirale d’Or !

La spirale d’Or est la courbe obtenue dans le cas où dans chaque rectangle, le rapport \frac{largeur}{longueur} = \varphi, c’est à dire le nombre d’Or précédemment calculé.

Rectangle d'or et suite de Fibonacci
Rectangle d’or et suite de Fibonacci

En somme, la suite de Fibonacci permet d’avoir une bonne approximation de la spirale d’Or. Mais qu’en est-il de notre fameux nautile ? La réponse est juste en dessous.

Le nautile et la spirale logarithmique

La forme de la coquille du nautile, tout comme la spirale d’Or, sont des spirales logarithmiques. L’expression mathématique d’une telle spirale est la suivante :

    \[ \rho ( \theta ) = a \cdot b^{\theta} \qquad \text{avec} (a,b,\theta) \enspace \in \mathbb{R}^+^3 \]

\rho correspond à la distance d’un point de la spirale, par rapport au centre de la spirale.

Le coefficient b de cette équation est l’élément qui différencie la forme de chaque spirale logarithmique. Le coefficient a permet, quant à lui, de positionner la spirale par rapport à son centre de rotation. De ce fait, si la forme spiralée du nautile est bien celle d’une spirale d’Or, alors leurs coefficients b sont les mêmes. Vérifions le en calculant ce coefficient b.

Calcul du paramètre b de la spirale du nautile

Tout d’abord, notons que la spirale d’Or est un cas particulier de spirale logarithmique. Elle vérifie la relation suivante : Si, j’agrandie la spirale d’un facteur \varphi (nombre d’or), et si je tourne la nouvelle spirale obtenue d’un quart de tour ( soit \frac{ \pi }{2}), alors la nouvelle spirale obtenue se superpose sur l’ancienne.

En d’autre terme :

    \[  \rho ( \theta + \frac{ \pi }{2} ) = \varphi \cdot \rho ( \theta ) \qquad \text{avec } \theta \in \mathbb{R}^+ \]

A partir de cette égalité, on trouve que, dans une spirale d’Or, le paramètre b est tel que b = \varphi^{ \frac{2}{ \pi}}. Ainsi, l’expression de la spirale d’Or s’écrit :

    \[ \rho ( \theta ) = a \cdot \varphi ^{ \frac{ 2 }{ \pi} \cdot \theta} \qquad \text{avec} (a,\theta) \enspace \in \mathbb{R}^+^2 \]

Afin de faire le lien entre le nautile et le paramètre b de sa spirale, intéressons nous au rapport \frac{ \rho ( \theta + 2 \cdot \pi) }{ \rho ( \theta) }. Ce rapport correspond au rapport de rayon entre deux points de la spirale, séparés d’un tour. On trouve, par calcul, dans le cas d’une spirale d’Or, le résultat suivant :

    \[ \frac{ \rho ( \theta + 2 \cdot \pi) }{ \rho ( \theta) } = \varphi^4 \]

Vérifions à partir d’une photo du nautile que l’on trouve un résultat proche de celui ci. Pour ce faire, je mesure premièrement le rayon d’un point quelconque \rho ( \theta), puis \rho ( \theta + 2 \cdot \pi) }. Ensuite, je fais le rapport des deux.

Mesure de rayons sur le nautile pour déterminer le paramètre b

Je trouve, pour cette photo de nautile, et de manière approximative, un rapport qui vaut 3. En revanche, pour une spirale d’Or, ce rapport vaut \varphi^4 \simeq 6.8541. Ces deux rapports sont très différents. Nous pouvons alors dire que, la spirale du nautile n’est pas une spirale d’Or.

En conclusion

La suite de Fibonacci est une suite linéaire récurrente d’ordre 2 dont, le taux d’accroissement tend vers le nombre d’Or. La spirale obtenue à partir de la suite de Fibonacci donne une bonne approximation de la spirale d’Or. Le lien entre la spirale d’Or et la forme en spirale du nautile réside dans le fait qu’elles sont toutes deux des spirales logarithmiques. Cependant, il n’est pas possible de dire que la spirale du nautile est une spirale d’Or. En effet, le paramètre définissant la forme de la spirale du nautile est bien différent de celui de la spirale d’Or.

Notre aventure d’aujourd’hui s’arrête ici mais notre expédition n’est pas terminée. Il y a encore tellement de choses à découvrir. Je te donne donc rendez-vous sur Sciences Corner pour une toute nouvelle expédition sur notre belle planète Terre !

As-tu toi aussi rencontré des spirales logarithmiques autour de toi ? Sont-elles des spirales d’Or ? Partage moi tes découvertes en commentaire !


Pour aller plus loin, tu peux également parcourir ces différentes ressources :

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